勤怠管理ソフトかタイムカードで管理した上で別途社員が指定された書式に手書きで翌月頭に前月１ヶ月分を申請するのが普通だと思われる。
職種にもよるとは思うが予期しない誤算や緊急でやらないといけない等で多少の残業は出るのは当然だと思うしそれを申請しないのは逆に職務怠慢と取られる場合もありえる（周りが必要な残業してるのに定時で帰ったと判断される）
この場合は残業を申請しなかった上司が一番悪いがそれを普通と思う次長がかなり悪質