質問いただきましたので、こっそりまとめせていただきます。困ったときに少しでも使えれば参考になれば良いなと。
（間違ってたり、こっちの方がいいよ！などありましたら、ご指摘お願いします。）
※全てが動くと言う保障はありません。使用環境や相性などで動かないことをご理解ください。

もっと詳しくは知りたい方はご確認ください。以下の文は参考にした抜き出し。
・XBOX 360 コントローラーを PC で使う際に知っておきたいこと | 0dd14 lab様
https://sites.google.com/site/0dd14lab/xinput-plus/aboutxinput

ゲームがどの形式のコントローラーに対応しているか大まかに調べるには？
  • DirectInput形式
    • 比較的古いゲーム
    • ゲーム中のコントロールオプション設定でボタン名が「Button1」「Button2」などの名称で記載されている
  • XInput形式
    • ゲーム中のコントロールオプション設定やゲーム中での説明でボタン名が「A」「B」「X」「Y」などで記載されている
    • ゲーム中のコントロールオプション画面がXBOX360コントローラの絵で表現されている
ですので、動かなくても慌てず まずは対応しているかを確認しましょう。
起動時には動かなくても、PCを再起動すると動くようになることもあります。
（コントローラーの認識の問題など）

サイトのお言葉をお借りすると、
ゲームコントローラを使用する場合、大きくゲームコントローラーの形式にはXInput形式とDirectInput形式があり、
PS2コントローラや一部のPC用コントローラなどはDirectInputの片方の方式にしか対応しておらず、最近のPCゲームはXInputしか対応していないも多く動かすことができません。

XBOX360コントローラーはXInput形式が使用できることが大きな特徴で、多くの開発者の方もこのコントローラーを基準にゲーム作られている方も多いので使いやすいのも利点かと思います。


今回は Xbox360コントローラー以外のコントローラーを使いたいとき どうすれば･･･ということで、
ツールの候補を挙げるとたくさんあるかと思うので、よく使われてそうなものを数点ご紹介。
上の2つを使いこなせば問題は無いかと思います。
（使い方は検索すればすぐ出てくるので割愛）

【JoyToKey】
USBのゲームパッド向けで一番有名かと思います。 ジョイスティックの入力をキーボードやマウスの入力に割り当てし、さまざまなアプリケーションを操作できるようにすることができます。（シェアウェア）

【x360ce】
Xboxのコントローラーが正式に対応しているゲームを他のパッドでもXboxのコントローラーとして認識させて操作可能にするソフトです。（Xinput コントローラーとして認識させるツール）

【DS4】
USBでPS4コントローラー（DUALSHOCK 4）とPCをつなぐだけで認識するので楽です。ゲームによっては対応してないかも（PS4コントローラーはWindows標準ドライバで PCに認識させることができる）しかし、振動などは対応していない模様。

【MotininJoy】　
PS3のコントローラー　認識させるツール、ネット接続が常時必要だったり少々使いづらいので　PS3をどうしても使いたい方向け

【Controller Companion】
Steamで販売300円ぐらい 利点：Steamで管理できるJoyToKeyな感じでしょうか。

他にもELECOMさんなどで取り扱っている。
PSコントローラー変換機、もしくはPCゲーム用コントローラーなどもありますね。

ツールで色々と対応もできますが、これからもゲームするぞ！って方は
毎回起動するのも大変ですので Xbox 360 コントローラーが約3000円ぐらいを1つ持っているのがおススメかなと思います。

※ちなみにイズムさんは、Xbox 360 コントローラーとSFC系のコントローラーをゲームによって使い分けてます。