良く上がっているストレス解消法やリラックス法が効かなくて、かつ仕事や日常生活に影響が出ているのならば行っていいと思う。
私は踏ん張りながら仕事してたけど、ある日急にベットから起き上がれなくなるくらいの体調不良に襲われて、受診したら本来なら仕事辞めたりや引きこもりとかやってるレベルの重度の鬱と言われた。
鬱が有名になることで言葉が軽くなって、無意識に自分は違うと抵抗感あるかもしれないけど、体も心も不調ならば不調と割り切って良いと思う。

精神科はハードル高そうだけど、心療内科は○○クリニックと一見それっぽくないしていたり、普通の内科と併設しているとことかもあったので個人的にはこっちのがおすすめ。
精神科と心療内科は重なる分野なのでどちらにいっても外れではないし、違う科や病院の方が良いと判断したら紹介状くらい書いてくれると思うよ。