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愚考 対数の基本公式というやつ

2019/02/16 06:00 投稿

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・対数の公式というか性質というかに以下の3つがある。これは登場人物が多いので
 マルサンカクシカクだけだと表現しきれないのでMとNとkに出演してもらう。
 M>0 N>0 kは実数というのが出演に際する契約条件だった。
 条件だから何で?と考えずそのまま受け入れておく。
 通常以下の3つが基本対数公式ということになっていて、なんとなくこういう順番みたいな印象がある。本によっては 第1、第2、第3法則なんて名前をつけているものもある。

1. logaMN=logaM+logaN
2. loga(M/N)=logaMーlogaN
3. loga(Mのk乗)=klogaM

 これの証明がたいていの教科書とかに載っているけど、指数と対数をいったりきたりしてなんか騙されたような気がしてフにおちない。
 
一番最初のやつについて手元の本の表記をいくつか集めてみるとこんな感じ。

 本によって記号が違ったりもして(この本によって記号が違うのが高校時代に私がとまどったところ)、同じことを言っているはずなんだけど読み比べているうちによくわかんなくなる。よく読むと、論理展開に二通りあるように思えて来る。
 一つは(記号がいろいろだけど)logaMN=p+q という式を導くのに
MN=aの(p+q)乗という式から指数対数の対応式を使って一気に置き換えているのと、
間にloga{aの(p+q)乗}を挟んで、段階的に式変形を行っているのと表記が混在している気がする。
 これを自分なりに整理すると


  
 という指数の式から対数の式に一気に変換しているものと、loga{aの(p+q)乗}を
一度挟んで

 のように両辺にlogをつけて(いわゆる対数をとる、という操作をして)式変形していっているものとがあるみたい。でも本ではそんなのわかってますよね皆さん、という感じであまり説明してくれてない気がする。本によってはこの証明を省略していたり、その証明が練習問題になっていたりとあまり重要なものと扱われていない気もする。
 たぶん数学センスに優れたごく一部の人以外はこのへん一度だけ授業で聞いてもわからないように思う。教科書にしつこいくらい書いてあって何度も読み直せるようになっていればまだしもだけど、今の教科書はどうなんだろう。

 私の場合高校時代の教科書はどう書いてあったのかよく覚えてないけど、いまひとつ証明が納得できなくて、この公式もうしろめたく使ってた気がする。
 だから今頃気になって復習してるわけだけど。
 後者の式変形を段階を踏んでやっていく方が個人的には受けとめやすいんだけど、その場合、対数法則としては三番目に出て来る loga(Mのk乗)=klogaM を使っているので、
この対数法則に1、2、3みたいに順番をつけている場合は1番目の(2番目もだけど)公式の証明にまだ知らないはずの3番目の公式を使ってるみたいでなんかズルをしているような気になる。

 でも loga(Mのk乗)=klogaM という式は



 と指数表現と対数表現の対応を考えた時に


 みたいな感じで
 △=log小さなマル□ の□をマルの△乗で置き換えてやると
 △=log小さなマル(マルの△乗) となって、log小さなマル(大きなマル)は1だから
 △乗の部分をlogの前に出せるんだ、となんとなく直感的に納得しやすそうな気がする。
 もちろんこれは数学的な証明ではないんだけど、忘れにくいイメージになるような。

 こちらを先に別に番号はつけなくてもいいけどここで第一公式みたいに教えておいて、
これを使って段階的な式変形で残りの公式を証明したほうが手間はかかるけど論理の飛躍が少なくてわかりやすくて楽なような気がする。

 というのが習ったばかりでぱっと頭で納得して変換できちゃう人はいいけど私はそうじゃなかった。

 全く証明抜きで疑わずにこの公式を使いなさい、というのもありなのかもしれないけど、
それはそれでちょっと抵抗を感じる世代。今の人はその方がいいのかもしれないけど。
 2番目の loga(M/N)=logaMーlogaN というのは一部でプラスマイナスが入れ替わるだけなので詳しく書くのは省略する。
 というわけで1番目と2番目の、対数の中身の掛け算・割り算は対数の外に出すと足し算、引き算になる(対数の中身、みたいには本来言わないんだけど、数学的に正確な用語で説明するといまひとつイメージがわかないのでこんな言い方をしてます。専門家には怒られちゃう) というのは証明したことにしておこう。
 でも本当はインチキ対数表を作った時に既にこっそり使っていたけど。


※画像引用元の手元の本
・新体系・高校数学の教科書(芳沢光雄著)講談社ブルーバックス
・科学を志す人のための基礎数学(遠山啓著)アグネ
・ゼロからわかる指数・対数(深川和久著)ベレ出版
・よくわかる高校数学の基本と仕組み(小島淳子著)秀和システム

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